Fractions irréductibles ou non ? - Corrigé

Énoncé

Soit \(n \in \mathbb{N}\) . Dans chacun des cas ci-dessous, dire si la fraction est irréductible ou non, en justifiant.

1. \(\dfrac{3n+2}{5n+3}\)

2. \(\dfrac{2n+2}{3n+4}\)

3. \(\dfrac{n^2}{n^4+1}\)

4. \(\dfrac{n^2+n+1}{n+1}\)

Solution

1. On remarque que :  \(5 \times (3n+2)+(-3) \times (5n+3)=15n+10=15n-9=1\)  
donc, d'après le théorème de Bézout, \(3n+2\) et \(5n+3\) sont premiers entre eux. Ainsi, la fraction \(\dfrac{3n+2}{5n+3}\) est irréductible.

2. Pour \(n=2\) , on remarque que : \(\dfrac{2n+2}{3n+4}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3 \times 2}{5 \times 2}\)  donc cette fraction n'est pas irréductible.

3. On remarque que :  \((-n^2) \times n^2+1 \times (n^4+1)=-n^4+n^4+1=1\)  donc, d'après le théorème de Bézout, \(n^2\) et \(n^4+1\) sont premiers entre eux. Ainsi, la fraction \(\dfrac{n^2}{n^4+1}\) est irréductible.

4. On remarque que :  \(1 \times (n^2+n+1)+(-n) \times (n+1)=n^2+n+1-n^2-n=1\)  donc, d'après le théorème de Bézout, \(n^2+n+1\) et \(n+1\) sont premiers entre eux. Ainsi, la fraction \(\dfrac{n^2+n+1}{n+1}\) est irréductible.