Fractions irréductibles ou non ? - Corrigé

Énoncé

Soit $n\in \mathbb{N}$ . Dans chacun des cas ci-dessous, dire si la fraction est irréductible ou non, en justifiant.

1. ${\displaystyle \frac{3n+2}{5n+3}}$

2. ${\displaystyle \frac{2n+2}{3n+4}}$

3. ${\displaystyle \frac{n^2}{n^4+1}}$

4. ${\displaystyle \frac{n^2+n+1}{n+1}}$

Solution

1. On remarque que :  $5\times (3n+2)+(-3)\times (5n+3)=15n+10=15n-9=1$  
donc, d'après le théorème de Bézout, $3n+2$ et $5n+3$ sont premiers entre eux. Ainsi, la fraction ${\displaystyle \frac{3n+2}{5n+3}}$ est irréductible.

2. Pour $n=2$ , on remarque que : ${\displaystyle \frac{2n+2}{3n+4}}={\displaystyle \frac{6}{10}}={\displaystyle \frac{3\times 2}{5\times 2}}$  donc cette fraction n'est pas irréductible.

3. On remarque que :  $(-n^2)\times n^2+1\times (n^4+1)=-n^4+n^4+1=1$  donc, d'après le théorème de Bézout, $n^2$ et $n^4+1$ sont premiers entre eux. Ainsi, la fraction ${\displaystyle \frac{n^2}{n^4+1}}$ est irréductible.

4. On remarque que :  $1\times (n^2+n+1)+(-n)\times (n+1)=n^2+n+1-n^2-n=1$  donc, d'après le théorème de Bézout, $n^2+n+1$ et $n+1$ sont premiers entre eux. Ainsi, la fraction ${\displaystyle \frac{n^2+n+1}{n+1}}$ est irréductible.